НазадНа заглавную страницуВперед
Дисциплина: "Техническая электродинамика и устройства СВЧ" 
Раздел: "Анализ электромагнитных процессов"
Тема: "Формирование эквивалентных схем для трехмерных волноводных устройств"
 

Формирование эквивалентных схем для трехмерных волноводных устройств

Разбиваем анализируемое устройство на элементарные объемы, имеющие форму параллелепипедов с размерами граней Dx, Dy, Dz. Последние полагаются настолько малыми, что во внутреннем объеме каждой из областей можно пренебречь изменением электромагнитного поля, которое таким образом становится локально однородным. На рис. 2.3.1 для примера показана схема декомпозиции двойного волноводного Т-тройника.

 

Рис. 2.3.1. Двойной волноводный Т-тройник

 Итак, в рассматриваемой модели в заданный момент времени электромагнитное поле может изменяться скачкообразно, причем лишь только при переходе от одной области к другой. Из физических соображений можно заключить, что в пределах каждого элементарного объема локально однородная, гибридная (в общем случае) волна может быть представлена в виде суммы трех плоских однородных волн, каждая из которых имеет эллиптическую поляризацию и распространяется вдоль одной из трех координатных осей прямоугольной декартовой системы координат X, Y и Z.

В свою очередь, плоская однородная волна с эллиптической поляризацией, как известно, может быть представлена в виде суперпозиции двух ортогональных в пространстве плоских однородных волн, каждая из которых имеет линейную поляризацию. И таким образом однородная гибридная волна раскладывается на шесть плоских однородных электромагнитных волн с линейной поляризацией. Порядок сложения последних при суперпозиции произволен.

Процесс распространения плоской однородной электромагнитной волны с линейной поляризацией вдоль, например, оси Z в пространстве, ограниченном в поперечном направлении по оси X интервалом Dx, а в вертикальном направлении по оси Y интервалом Dy в том случае, когда электрическое поле имеет составляющую EY, а магнитное √ HX, модельно представляется как процесс распространения токов и напряжений в ленточной двухпроводной линии передачи, ориентированной по оси Z, причем проводники имеют ширины Dx, они параллельны плоскости XOZ, а расстояние между ними равно Dy; при этом на границах ленточных проводников имеет место условие магнитной стенки, рис. 2.3.2, а. Для ортогональной волны, которая также распространяется вдоль оси Z, но при этом имеет составляющую электрического поля EX, а магнитного √ HY, ленточные проводники располагаются параллельно плоскости YOZ, имеют ширины Dy, расстояние между ними равно Dx, и на границах проводников также имеет место условие магнитной стенки, рис. 2.3.2, б. Точно так же можно рассмотреть модели, описывающие распространение плоских электромагнитных волн с линейной поляризацией вдоль координатных осей X и Y. Соответствующие схемы представлены на рис. 2.3.2,г-и. Таким образом, всего получаем шесть отдельных схем. Заметим, что структуры, изображенные на рис. 2.3.2,в, е, и, соответствуют объединению схем а и б, в и г, наконец, ж и з.

Отрезку ленточной двухпроводной линии (рис. 2.3.3, а), имеющему, например, длину Dz, ширину Dx и расстояние между лентами, равное Dy, могут быть сопоставлены, как известно, две базовые неуравновешенные (или уравновешенные) эквивалентные LC-схемы в виде П- (или Т-) звеньев (рис. 2.3.3,б), а также отрезок длинной линии (рис.2.3.3,г).

Параметры эквивалентной LC-схемы, изображенной на рис. 2.3.3,б, выражаются при помощи соотношений: LЭ = LZ,X,Y , CЭ = CZ,X,Y /2; причем, из (2.1.8) следует, что

; ,            (2.3.1)

где нижние индексы Z, X, Y означают, что расстояние между ленточными проводниками равно Dy, а их длина и ширина равняются, соответственно, Dz и Dx.

  

  

На рис. 2.3.4 показаны схемы, в которых производится попарное объединение эквивалентных схем, изображенных на рис. 2.3.3,д; последние в свою очередь соответствуют различным пространственно ортогональным парам ленточных проводников с токами, текущими вдоль одной из координатных осей Z, X и Y. Возможен другой вариант пространственного объединения схем, он изображен на рис. 2.3.5 и отличается тем, что попарно объединяют схемы, соответствующие прохождению взаимно ортогональных токов, протекающих по общим парам проводников. Модифицированный вариант подобного представления изображен на рис. 2.3.6. Он отличается тем, что каждая эквивалентная схема, соответствующая одной паре ленточных проводников, разбивается на две одинаковые подсхемы, включенные параллельно; их относят к граням элементарного объема. Ясно, что в последнем случае волновые сопротивления линий должны быть увеличены вдвое по сравнению со схемой, изображенной на рис. 2.3.4, между тем как t остается неизменным. В схеме с сосредоточенными элементами емкости уменьшаются, а индуктивности увеличиваются вдвое.

Переход от схемы с сосредоточенными LC-элементами, изображенной на рис. 2.3.3,б, к схеме с распределенными параметрами, представленной на рис. 2.3.3,г, для одиночной линии приводит к следующим значениям волнового сопротивления и времени задержки сигнала:

.                   (2.3.2)

.      (2.3.3)

Точно так же для любой из пяти оставшихся линий, изображенных на рис. 2.3.2, можно найти волновое сопротивление и время задержки сигнала. Будем для простоты анализа в дальнейшем полагать, что Dx = Dy = Dz = D.

Пространственное объединение схем, изображенных на рис. 2.3.3,д, в последовательности, указанной на рис. 2.3.4 или на рис. 2.3.5, приводит к схеме так называемого потокового кубика, она изображена на рис. 2.3.7,а. Пространственное объединение схем, изображенных на рис. 2.3.3,ж, в последовательности, указанной на рис. 2.3.6, приводит к схеме, изображенной на рис. 2.3.7,б. Учитывая тот факт, что трансформаторы напряжений имеют коэффициент трансформации, равный единице, переходим к схеме так называемого роторного кубика; она представлена на рис. 2.3.7,в.

Теперь дополнительно уточним параметры линий, входящих в эквивалентные схемы, изображенные на рис. 2.3.4. Обратимся к рассмотрению схемы построения фрагмента потокового кубика, изображенной на рис. 2.3.4,а. Если бы, например, в плоскости XOZ токи текли лишь в направлении оси Z, то емкости элементов, входящих в состав эквивалентной цепи, действительно принимали бы те значения, которые указаны в схеме, изображенной на рис. 2.3.3,б. На самом деле по линии протекают также и ортогональные токи в направлении оси X. Поскольку в рассматриваемом случае вектор напряженности электрического поля имеет единственную компоненту Ey, являющуюся общей для обоих токов, то естественно полагать что энергия, накапливаемая электрической компонентой поля WE, разделяется поровну между этими ортогональными токами.

 

Рис. 2.3.4. Эквивалентные схемы, соответствующие сложению линий, образующих общие составляющие вектора плотности потока мощности

 

 

Рис. 2.3.5. Эквивалентные схемы, соответствующие попарному сложению схем с общим значением компонентов электрического поля

 Рис. 2.3.6. Формирование эквивалентной роторной Rt-схемы элементарного объема с клеммами, расположенными в центрах ребер параллелепипеда для случаев: а √ ток течет вдоль оси Z по граням XOZ, на гранях YOZ параллелепипеда имеют место граничные условия типа магнитной стенки; б √ ток течет вдоль оси X по граням XOZ, на гранях YOX параллелепипеда имеют место граничные условия типа магнитной стенки; в √ имеют место как токи, текущие вдоль оси Z, так и вдоль оси X

 А поскольку WE = CU2/2, и следовательно, она пропорциональна общей электрической емкости С рассматриваемого отрезка ленточного проводника, то парциальные емкости, соответствующие каждому из двух ортогональных направлений прохождения токов в линиях, должны быть уменьшены вдвое. Таким образом, для схемы потокового кубика они принимают значения СЭ/2, а для схемы роторного кубика √ СЭ/4.

Для схемы, моделирующей планарное устройство, индуктивности будут иметь те величины, которые указаны на рис. 2.3.3. Однако, когда моделируется объемное устройство, то значение каждой индуктивности должно быть также уменьшено вдвое, поскольку магнитная энергия WH = LI2/2 накапливается фактически одним и тем же током, протекающим в ленточном проводнике для обоих элементарных объемов, примыкающих с двух сторон к каждой ленте. Например, в трехмерном случае  в схеме, изображенной на рис. 2.3.3,б, следует произвести замену LЭ LЭ /2, а в схеме, изображенной на рис. 2.3.3,в, следует произвести замену 2LЭ LЭ.

Рис. 2.3.7. Эквивалентные rt-схемы элементарного объема: роторный кубик а); потоковый кубик б), в)

Таким образом, для каждой ленточной линии, входящей в схему потокового кубика, имеем неуравновешенную эквивалентную П-схему на сосредоточенных элементах с номиналами С¢Э = СЭ/2 и L¢Э = LЭ/2, а значит, параметры эквивалентной длинной линии принимают значения

.        (2.3.4)

Для схемы роторного кубика имеем С¢Э = СЭ /4, L¢Э = L Э, поэтому

,   (2.3.5)

где индексы ⌠п■ и ⌠р■ относятся соответственно к потоковому и роторному кубикам, значения L и C рассчитываются при помощи (2.3.1). Символами r0 и t0 обозначены, соответственно, характеристический импеданс среды для плоской монохроматической волны и время, за которое она проходит пространственный интервал, равный D. Очевидно, что поскольку в схемах, изображенных на рис. 2.3.7, эквивалентные ленточные линии разбиваются на две равные части, каждая из которых имеет длину, равную D/2, время задержки сигналов, проходящих в каждой половине, естественно, следует уменьшить вдвое по сравнению с теми значениями, которые определяются с помощью (2.3.4) и (2.3.5). В результате получаем время прохождения сигнала расстояния, равного половине пространственного размера кубика, t = t0/4 = (D/4)(maea)1/2.

Особенности построения роторного Rt-кубика при неоднородном диэлектрическом заполнении объема анализируемого устройства

В рассматриваемом методе Rt-сеток устройство разбивается на одинаковые элементарные объемы, имеющие кубическую форму. Очевидно, что при таком подходе удобно проводить соединение эквивалентных цепей, соответствующих соседним областям. Принципиально важным оказывается также выбор единого интервала времени t. При анализе характеристик электромагнитного поля в устройствах, состоящих из областей с различными значениями абсолютных диэлектрической ei и магнитной mi проницаемостей, в случае выбора единого размера D для всей схемы окажется различным время прохождения сигнала ti в областях с различными значениями ei и mi. В [6] разработан метод преодоления указанного затруднения. Сущность его состоит в том, что оказывается возможным, несколько усложнив эквивалентную схему, соответствующую элементарному объему, составить ее как и прежде из отрезков длинных линий, имеющих одинаковые электрические длины, а, следовательно, и время прохождения в них сигнала. Для достижения этого результата заменяют отрезки линий, входящих в схему роторного кубика, каскадной схемой, изображенной на рис. 2.1.9,б. Последовательно включенные шлейфы устанавливают в области последовательного разветвления линий, расположенных на гранях кубиков, а параллельные √ на ребрах кубиков в узлах с параллельным разветвлением линий. В результате формируется модифицированная эквивалентная схема роторного кубика для элементарного объема, рис. 2.3.9.

Волновые сопротивления шлейфов вычисляются с помощью следующих выражений, непосредственно вытекающих из (2.1.20), (2.1.21):

,            (2.3.6)

.             (2.3.7)

Удвоение волновых сопротивлений линий, располагающихся на гранях и ребрах элементарных объемов, моделируемых схемами роторных кубиков, объясняется тем обстоятельством, что при сборке общей схемы линии, лежащие на примыкающих друг к другу гранях и ребрах кубиков, будут включены параллельно, и результирующее волновое сопротивление окажется равным характеристическому импедансу моделируемой среды. Особые случаи будут наблюдаться в граничных областях.

а)                                                     б)

Рис. 2.3.9. Эквивалентные модифицированные схемы:

а) одной грани; б) кубика роторного типа в целом

 

Волноводная модель элементарного объема

Будем полагать, что элементарный объем образуется путем пространственного объединения одновременно трех волноводов, изображенных на рис. 2.3.2,в, е, и. Получаем сочленение с шестью волноводными входами, рис. 2.3.10. Его эквивалентная электрическая схема соответствует потоковому кубику, изображенному на рис. 2.3.7, а. Последний имеет 12 входов √ по два на каждой физической грани кубика, причем каждый вход соответствует одной плоской волне с линейной поляризацией.

Рис. 2.3.10. Волноводная модель элементарного объема

Возбудим входы 1 и 3 синфазно напряжениями с амплитудами, равными +1/2, +1/2, а затем противофазно с амплитудами +1/2, √1/2. В первом случае получаем магнитную стенку, располагающуюся в плоскости симметрии устройства YOZ. При этом волновод, ориентированный вдоль оси Y из схемы устраняется (поскольку в нем фактически исчезает одна из проводящих плоскостей), ширина же волновода, ориентированного вдоль оси Z, уменьшается вдвое и становится равной D/2, рис. 2.3.11,а. Следовательно, характеристический импеданс длинной линии увеличивается в два раза и становится равным 2r. Эквивалентная электрическая схема, соответствующая данной ситуации, изображена на рис. 2.3.11,а¢. Она представляет собой согласованное со стороны входа 1 параллельное разветвление линий передачи.

Рис. 2.3.11. Эквивалентные конструктивные а√в и схемные а¢√в¢ преобразования волноводной модели элементарного объема при синфазном и противофазном возбуждении входов 1 и 3.

 

 

 

При противофазном возбуждении получаем электрическую стенку, располагающуюся в плоскости симметрии устройства. При этом волновод, ориентированный вдоль оси Z из схемы устраняется (поскольку он закорачивается), высота же волновода, ориентированного вдоль оси Y уменьшается вдвое и становится равной D/2, рис. 2.3.11,б. Следовательно, характеристический импеданс линии уменьшается в два раза и становится равным r/2. Эквивалентная электрическая схема, соответствующая данной ситуации, изображена на рис. 2.3.11,б¢. Она представляет собой согласованное со стороны входа 1 последовательное разветвление линий передачи.

Складывая поля, возникающие в схеме при одновременном синфазно-противофазном возбуждении плеч 1 и 3, находим, что напряжение суммарной волны в плече 3 равно нулю (и, следовательно, плечи 1 и 3 являются развязанными). Энергия, поступающая на вход первого плеча, разделяется на четыре равные части и проходит в плечи 6, 8, и 10, 12. Заметим, что в плече 8 (в отличие от плеча 6) вектор напряженности электрического поля ориентирован в направлении, противоположном положительному направлению оси X. Сложение схем, изображенных на рис. 2.3.11,а, б, приводит к схемам, представленным на рис. 2.3.11,в, в¢. Последние ни в коем случае не должны восприниматься как реальные эквиваленты рассматриваемого элемента объема. Их следует рассматривать как промежуточные модели, позволяющие правильно рассчитать значения коэффициентов матрицы рассеяния для потокового кубика при подаче сигнала на вход 1.

Из схемы, изображенной на рис. 2.3.11,в¢, следует, что

,     (2.3.8)

где

 Более детально строгое доказательство соотношений (2.3.8) дано в [4], [6].

Выполняя аналогичные рассуждения для других плеч, получаем выражение для матрицы рассеяния полной схемы волноводной модели потокового кубика:

                    (2.3.9.)

НазадНа заглавную страницуВперед