Дисциплина: "Техническая электродинамика и устройства
СВЧ"
Раздел: "Анализ
электромагнитных процессов"
Тема: "Волны
в модельной LC-цепи"
|
Дисциплина: "Техническая электродинамика и устройства
СВЧ"
Раздел: "Анализ
электромагнитных процессов"
Тема: "Волны
в модельной LC-цепи"
|
Волны в модельной LC-цепи и требования, предъявляемые к заданию пространственного шага при декомпозиции планарных волноводных устройств
Прежде чем начать исследование вопроса о выборе оптимального шага пространственной сетки при декомпозиции волноводного устройства на элементарные объемы, рассмотрим процесс распространения бегущей волны в одномерной дискретной лестничной эквивалентной цепи, моделирующей длинную линию, рис. 3.1.1. Здесь введены следующие обозначения: последовательное индуктивное сопротивление ZL = jwL, параллельная емкостная проводимость YC = 1/ZC = jwC, линейный интервал вдоль оси z имеет величину Dz. Координата узловой точки схемы с порядковым номером i, очевидно, имеет значение zi = Dz×i. Как известно, в схеме, изображенной на рис. 3.1.1, процесс распространения тока и напряжение имеет характер волн, бегущих в положительном и отрицательном направлениях вдоль оси Z.
Убедимся в этом еще раз и попутно определим значения соответствующих этим волнам постоянной распространения b и характеристического импеданса Z0. Итак, пусть в некоторый момент времени напряжение в узле с номером i имеет значение
.
(3.1.1)
Рис. 3.1.1. Эквивалентное представление длинной линии элементами с сосредоточенными параметрами
Запишем первое уравнение Кирхгофа для баланса токов i-м узле схемы (рис. 3.1.1,а)
.
(3.1.2)
Далее без комментариев записываем следующие тождественные преобразования, вытекающие из (3.1.2) и (3.1.1):
, 
,
.
(3.1.3)
Для малого пространственного интервала между узлами Dz, то есть при (bDz)<<1, приближенно имеем cos(bDz) ╩1√ (bDz)2/2 + (bDz)4/24 √ ×××. Ограничимся первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора косинуса малого аргумента и, подставляя полученное значение в (3.1.3), окончательно получаем
,
(3.1.4)
где Lпог и Cпог √ погонные индуктивность и емкость.
Распределение токов в узле с номером i не изменится, если следующую за ним часть схемы заменить сопротивлением, равным характеристическому, которое обозначим через Z0, рис. 3.1.1,б. Причем, поскольку разбиение схемы в данном случае производится по параллельному элементу, то есть по емкости, то для вычисления Z0 следует взять половинное ее значение, то есть С/2. Теперь запишем первое уравнение Кирхгофа для i-го узла
(3.1.5)
откуда
,
.
Учитывая из (3.1.3), что 1√ cos(jbDz) = √ ZL /(2ZC), получаем
а значит
где w0 =2/(LC)√1/2. Использованный подход для определения постоянной передачи и характеристического сопротивления одномерной цепи с сосредоточенными элементами далее будет применяться при анализе двухмерной эквивалентной схемы планарных волноводных устройств.
Оптимальный выбор пространственного шага сетки по координатам X и Z (то есть выбор значений Dx и Dz) при разбиении объема волноводного устройства на малые элементы является чрезвычайно ответственным этапом расчетной процедуры, выполняемой с помощью рассматриваемого метода эквивалентной цепевой LC-модели. Выбор слишком крупного шага приводит к увеличению погрешности проводимых расчетов, тогда как при уменьшении пространственного интервала возрастает время, затрачиваемое ЭВМ на выполнение необходимых вычислений.
Из физических соображений понятно, что в тех областях волноводных устройств, в которых наблюдаются максимальные значения напряженностей компонентов электромагнитного поля и скорости их изменения, а также в тех областях поверхности волноводов, где имеется максимальная плотность поверхностных токов и наблюдается высокая скорость их изменения, шаг дробления следует уменьшать. Например, для волны Н10 напряженность электрической компоненты поля и поверхностные токи достигают своей максимальной величины в области центра широкой стенки волновода. Таким образом, в области центра широкой стенки волновода следует минимизировать значения шага Dx, тогда как при приближении к боковым поверхностям его можно несколько увеличить без заметного снижения точности вычислений.
Строгое решение задачи о точности рассматриваемой модели, анализ вопросов, связанных с обусловленностью, сходимостью, чувствительностью численных процедур не только данной конкретной методики, но и целого ряда других численных методов электродинамики [21], относится к числу самых сложных проблем вычислительной математики и теории разностных методов решения уравнений математической физики [22]. Вместе с тем, для двух практически важных случаев в [6] даются принципиально важные оценки зависимости точности расчета параметров модели от пространственного шага сетки.
Первый относится к оценке погрешности при расчете длины волны плоской волны, распространяющейся в модельной цепи с сосредоточенными элементами, изображенной на рис. 2.1.6. В однородном пространстве с абсолютными значениями электрической и магнитной проницаемостей равными e и m фазовая скорость не зависит от направления распространения и вычисляется по формуле
.
(3.1.6)
На
рис. 3.1.2 показана схема движения фронта
плоской волны в модельной среде под углом a
к оси X.
Если в узле с номером 2 комплексная
амплитуда волны имеет значение 
,
то в узлах 1, 3, 4 и 5, комплексные амплитуды,
очевидно, примут следующие значения
, 
, 
, 
, (3.1.7)
где
,
(3.1.8)
lВ √ длина волны в модельной среде, состоящей из сосредоточенных LC-элементов.
Рис. 3.1.2. Прохождение плоской волны в дискретной эквивалентной цепи под углом к координатным осям
Запишем 1-й закон Кирхгофа, дающий баланс токов в узле с номером 2, рис. 3.1.2,б
,
(3.1.9а)
или, что то же,
(3.1.9б)
и после следующих простых тождественных преобразований получаем
.
Следовательно,
(3.1.9в)
где учли, что
.
(3.1.10)
Если 
и
,
то 
и
с учетом (3.1.8), получаем
,
.
Подставляя эти выражения в (3.1.9), после выполнения ряда простых алгебраических и тригонометрических преобразований будем иметь
, откуда
,
(3.1.11)
где
,
при 
.
Таким образом, отношение изменения длины волны, распространяющейся в модельной дискретной цепевой структуре, к длине волны, распространяющейся в однородном пространстве, зависит от наклона фазового фронта по отношению к осям системы координат. Это фактически означает не что иное, как наличие угловой дисперсии, зависимости скорости распространения плоской электромагнитной волны в рассматриваемой модельной среде от ориентации фронта относительно координатных осей. На рис. 3.1.3 показаны зависимости функции G(a) от отношения (Dx/Dz). В двух крайних случаях, при a = 0 и при a = p/2 ошибка достигает максимального значения. Следовательно, для оценки ошибок расчета длины волны в эквивалентной структуре можно воспользоваться следующими соотношениями, которые дают верхнюю их границу при различном соотношении между пространственным дискретом структуры по осям X и Z:
(3.1.12)
Рис. 3.1.3
Из (3.1.9в) и (3.1.8) вытекает, что при распространении волны вдоль оси Z (a = 0), qx = 0 и ZLz /ZC = 2(cosqz √ 1), а при распространении волны вдоль оси X (a = p/2), qz = 0 и ZLx /ZC = 2(cosqx √ 1).
Теперь получим выражения для расчета длины волны, распространяющейся в LC-цепи, изображенной на рис. 2.1.6 и моделирующей регулярный полый металлический волновод с прямоугольной формой поперечного сечения с колебаниями Hm0, а также характеристический импеданс этой структуры. Пусть в LC-цепи, моделирующей волновод, вдоль оси Z бежит волна Hm0. Волновод имеет длину широкой стенки a (она ориентирована вдоль оси X) и узкой стенки √ b (она ориентирована вдоль оси Y). Число элементарных ячеек вдоль широкой стенки волновода выбрано равным N, причем ясно, что должно выполняться условие m < N. Из решения задачи о распространении волн в прямоугольном волноводе известно, что в продольном направлении, то есть вдоль оси Z, распределение напряжений имеет характер бегущей волны, в поперечном направлении для волны Hm0 напряжение распределено по синусоидальному закону. Будем полагать, что для модельной LC-цепи этот вывод оказывается справедливым по отношению к узлам структуры. Следовательно, в произвольном узле структуры с номерами i и k вдоль, соответственно, осей X и Z напряжение записывается в форме
,
(3.1.13)
где 
√
известная величина, тогда как значение
постоянной распространения 
вдоль
оси z подлежит
определению. Запишем 1-й закон Кирхгофа для
узла с номером (i, k)
по аналогии с тем, как это было сделано
выше.
(3.1.14)
Дадим следующие очевидные тождественные преобразования без дополнительных пояснений.
(3.1.15)
,
(3.1.16)
где обозначено qx = bx Dx и qz = bz Dz.
Теперь из (3.1.14) получаем
,
(3.1.17а)
откуда
,
(3.1.17б)
следовательно,
.
(3.1.18а)
Учтем, что
.
(3.1.18б)
Точно так же
,
(3.1.18в)
поэтому
.
(3.1.19)
Для волны Н10 индекс m = 1, и при Dx = Dz = D, учитывая, что (p/N) = p /(a/D) и, кроме того, что при x<<1 c точностью до двух членов разложения в ряд Тейлора cos(x) ╩ 1 √ x2/2, получаем
(3.1.20)
Это выражение полностью совпадает с выражением для длины волны в регулярном прямоугольном волноводе.
Теперь произведем расчет узлового ⌠продольного■ характеристического импеданса для цепевой LC-модели прямоугольного волновода. Будем действовать в той же последовательности, как это было сделано для одномерного цепевого аналога длинной линии. Только теперь схема стала сложнее, она стала двухмерной, рис. 3.1.4.
Снова запишем 1-й закон Кирхгофа для узла с номером (i, k), но теперь уже для эквивалентной схемы, изображенной на рис. 3.1.4,г. Точно так же, как и в предыдущем случае получаем
.
(3.1.21)
Отсюда следует, что
.
Учитывая (3.1.17а) и (3.1.17б), получаем
.
(3.1.22)
Из формулы (2.1.7) следует
, 
,
.
Поэтому
,
.
(3.1.23)
Точно так же
, 
.
(3.1.24)
Из (3.1.23) и (3.1.24) вытекает, что
, 
.
(3.1.25)
Подставляя (3.1.23) и (3.1.25) в (3.1.22) окончательно получаем
.
(3.1.26)
Для планарной волноводной
системы Dy = b и
пусть Dz = Dx
= D. Учитывая, что при N╝¥
знаменатель (3.1.26) стремится к величине b0D, получаем
Z0k ╝Z0(b/D)
и не зависит от положения узла, то есть
номеров i и k в эквивалентной схеме.
Рис. 3.1.4. Схема фрагмента планарной области а); узел схемы б); разбиение схемы узла в); схема, предназначенная для расчета характеристического импеданса планарной сетки г)