НазадНа заглавную страницуВперед
Дисциплина: "Техническая электродинамика и устройства СВЧ" 
Раздел: "Анализ электромагнитных процессов"
Тема: "Дисперсия плоских волн в трехмерных структурах"
 

Схема с роторными элементами.

Спроецируем плоскую волну на роторную сетку, элемент которой изображен на рис. 2.3.7,а. В получаемых из этой проекции соотношениях между напряжениями и токами будет всего один неизвестный параметр √ постоянная распространения. Кроме того, сама сетка накладывает связи на напряжения и токи в сетке. Поскольку для роторной сетки число этих связей равно шести (по количеству компонент √ 3 для электрического поля на серединах ребер и 3 для магнитного поля в центрах граней), то получаем 6 независимых уравнений для определения одного неизвестного параметра.

Определим плоскую волну в роторной сетке как проекцию непрерывной векторной 6-компонентной волны  на дискретный шаблон, изображенный на рис. 2.3.7,а:

                     (3.2.8.)

рис.3.2.1.

Здесь w0 √ круговая частота,  √ сеточный волновой вектор,  √ вектор амплитуды плоской волны, Ui0 √ напряжения, Ii0 √ токи, индекс i [i ' (x, y, z)] означает ориентацию напряжения или тока. Запишем с помощью вспомогательных соотношений для длинной линии (рис. 3.2.1) уравнения Кирхгофа для токов в точках, в которых определены напряжения Ux, Uy, Uz (см. рис. 3.2.2,a, б, в):

                   (3.2.9a)

        (3.2.9б)

          (3.2.9в)

и для напряжений в точках, где определены токи IX, IY, IZ (см. рис. 3.2.2,г, д, е):

         (3.2.9г)

            (3.2.9д)

           (3.2.9е)

где  √ электрическая длина линий в роторном кубике.

 

           

           

 Рис. 3.2.2. Уравнения Кирхгофа для токов (a, б, в) и напряжений (г, д, е)

 Подставляя (3.2.8) в (3.2.9) и выполняя сокращение, получим:

После ряда дополнительных преобразований приходим к следующей системе уравнений:

           (3.2.10)

где .

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

,                                                          (3.2.11)

где

.    (3.2.12)

Волна существует, если существует нетривиальное решение уравнения (3.2.11), что эквивалентно утверждению det= 0. Приведем без промежуточных выкладок окончательное выражение для det:

.               (3.2.13)

При  нетривиальное решение соответствует собственным колебаниям кубика. Приравнивание к нулю второго сомножителя дает нам искомое уравнение дисперсии:

.                                               (3.2.15)

Квадрат в формуле (3.2.14) математически означает двукратную вырожденность корня. Физически это означает, что обе поляризации имеют одинаковую скорость. Оценку дисперсионной погрешности расчета длины плоской волны в схеме с роторным элементом можно выполнить с точностью до величины  при помощи формулы:

,     (3.2.16)

которая вытекает из уравнения (3.2.15);  √ углы между направлением волнового вектора и соответствующими осями прямоугольной декартовой системы координат

.           (3.2.17)

На рис. 3.2.3 и рис. 2.3.4 представлены результаты решения дисперсионных уравнений (3.2.5) и (3.2.15) для потоковой и роторной схем соответственно. По координатным осям x, y, z отложены проекции относительной погрешности расчета волнового вектора (), выраженные в процентах, причем

,             (3.2.18)

где  √ единичный вектор, нормальный к фронту волны.

Анализ представленных картин приводит к следующим выводам. Длина волны lп, распространяющейся в потоковой сетке, оказывается меньшей или равной длине плоской волны l0, распространяющейся в свободном пространстве, т.е. lп  l0; причем lп = l0 наблюдается только при распространении волны вдоль осей координат x, y и z. Наибольшая погрешность при расчете волнового вектора (и следовательно lп) имеет место при распространении плоской волны под углами ax = ay = az ╩ 58°. В роторной сетке длина плоской волны оказывается всегда большей, чем длина плоской волны, распространяющейся в свободном пространстве, т.е. lр / l0 > 1. Максимальная пространственная дисперсия (анизотропия) наблюдается в направлениях, совпадающих с осями координат X, Y и Z, а наименьшая ошибка имеет место при ax = ay = az ╩ 58°.

При выборе шага сетки, удовлетворяющего условию D/l < 0.1, относительная ошибка расчета волнового вектора для потоковой схемы и для роторной схемы. Таким образом, максимальная погрешность расчета волнового вектора для роторной схемы оказывается в два раза большей, чем для потоковой.

Рис. 3.2.3. Дисперсия в потоковой сетке: а √ D/l = 0,1; б √ D/l = 0.3

Рис. 3.2.4. Дисперсия в роторной сетке: а √ D/l = 0,1; б √ D/l = 0.3

НазадНа заглавную страницуВперед