НазадВверхВперед
Дисциплина: "Техническая электродинамика и устройства СВЧ" 
Раздел: "Методы анализа параметров импедансных сеток в частотной и временной областях"  
Тема: "Шестипараметрический алгоритм анализа трехмерной Rt-схемы, построенной на основе роторного кубика"
Методы анализа параметров импедансных сеток в частотной и временной областях и вопросы возбуждения импедансных сеток
Шестипараметрический алгоритм анализа трехмерной Rt-схемы, построенной на основе роторного кубика 
Рассмотрим один из вариантов построения алгоритма расчета компонентов электромагнитного поля во временной области с использованием разработанной выше модели роторного кубика, отображающего элементарный объем исследуемого устройства. Возьмем, например, ближайшую пространственную окрестность около узла с номером (i, j, k). К нему, очевидно, примыкают восемь кубиков, рис. 4.1.1,а. 
 
Рис. 4.1.1. Модель объема устройства в окрестности узла с номером (i, j, k) с восемью ближайшими примыкающими к этому узлу кубиками роторного типа а); фрагменты модели, предназначенные для определения компонентов электромагнитного поля EY и HY - б), в) 
 
Мысленно вырежем из этих восьми кубиков тот, который имеет ребра, исходящие из узла (i, j, k) в положительном направлении по всем трем координатным осям. Из рис. 4.1.1, а видно, что это будет ближайший к наблюдателю верхний угловой кубик. Будем полагать, что трем компонентам электрического поля в выделенном нами кубике соответствуют напряженности электрического поля в узлах схемы, ближайших к отсчетному узлу (i, j, k) и имеющих разветвления линий параллельного типа в эквивалентной схеме. Компонентам же магнитного поля тогда, естественно, следует сопоставить напряженности магнитного поля, создаваемого токами, протекающими в разветвлениях схемы последовательного типа, которые также находятся в ближайшей окрестности узла
(i, j, k). В рассматриваемой эквивалентной электрической схеме клеммы с параллельными разветвлениями линий располагаются по серединам ребер кубиков, а клеммы с последовательными разветвлениями линий располагаются по центрам граней кубиков. Поэтому следует присвоить координатам клемм схемы номера с половинными значениями индексов. Тогда в узле с номером (i, j, k) и в соответствующем ему элементарном объеме компонентам электромагнитного поля приписываются следующие значения: EXi+1/2,j,k , EYi,j+1/2,k , EZi,j,k+1/2 , HXi,j+1/2,k+1/2 , HYi+1/2,j,k+1/2 , HZi+1/2,j+1/2,k .

Теперь уже можно непосредственно приступить к выводу основных расчетных соотношений, используемых в рассматриваемом алгоритме. На рис. 1,б выделен для примера фрагмент модели, предназначенный для определения связи компоненты напряженности электрического поля EYi,j+1/2,k с компонентами магнитного поля, заданными в узлах схемы ближайших к узлу с номером (i,j+1/2,k), то есть HXi,j+1/2,k+1/2 , HXi,j+1/2,k-1/2 , HZi+1/2,j+1/2,k , HZi-1/2,j+1/2,k . На рис. 1,в выделен фрагмент схемы, предназначенный для установления связи компоненты напряженности магнитного поля HYi+1/2,j,k+1/2 с компонентами электрического поля, заданными в узлах схемы ближайших к узлу с номером (i+1/2,j,k+1/2), то есть EXi+1/2,j,k , EXi+1/2,j,k+1 , EZi,j,k+1/2 , EZi+1,j,k+1/2 . 

В соответствии с выбранной физической моделью электромагнитное поле, распространяющееся в каждой ленточной двухпроводной линии, однородно и имеет линейную поляризацию, поэтому связи между модулями токов I и напряжений U в них и модулями компонентов электромагнитного поля H^и E|| имеют следующий вид 

I = H^*D, U = E||*D,  (4.1.1)
где ^ - индекс, указывающий на то, что магнитное поле перпендикулярно направлению движения тока, а || - индекс, подчеркивающий сонаправленность вектора напряженности электрического поля и стрелки, указывающей на клемму с положительным знаком потенциала. Учитывая предельную простоту этих соотношений, отвлечемся на время от рассмотрения электромагнитных полей и обратимся к анализу токов и напряжений в модельной цепи, изображенной на рис. 4.1.1. При этом специально отметим, что следует очень внимательно относиться к учету взаимной ориентации векторов электромагнитного поля в модельной структуре и направлений движения токов, а также знаков напряжений в эквивалентных цепях. Ошибки, которые, к сожалению, легко могут быть допущены при сопоставлении полевой и цепевой моделей в столь сложной схеме, привели бы к недопустимым искажениям разрабатываемой расчетной процедуры. При построении вычислительного алгоритма в соответствии с методом Rt-сеток выполняется не только пространственная декомпозиция объема устройства, но также проводится временное квантование протекающих процессов. 
Эквивалентная схема объема устройства, моделируемого с помощью набора элементарных кубиков роторного типа, как следует из рис. 4.1.1, представляет собою пространственное объединение по параллельному типу четырехплечных разветвлений последовательного типа, располагающихся на каждой грани кубических элементов. Поэтому для построения алгоритма расчета значений токов и напряжений в общей схеме оказывается принципиально важным выявить связи между токами и напряжениями на входах и в узлах базовых одиночных четырехплечных разветвлений, изображенных на рис. 4.1.2,а, б. 
Начало координат поместим в точку разветвления линий для обеих схем, изображенных на рис. 4.1.2. Линии, выходящие из узловой точки будем нумеровать i = 1, 2, 3, 4. Направлениям движения падающих волн в каждой линии припишем направления, совпадающие с направлениями соответствующих координатных осей. Токам, вытекающим из узла, приписывается положительный знак. Длины отрезков линий D' в схеме, изображенной на рис. 4.1.2, равны половине исходного элементарного пространственного интервала, то есть D' = D/2. Время прохождения сигнала в них также принимает половинное значение t' = t/2 = D'/2с. 
 
 
Рис. 4.1.2. Параллельное объединение четырех линий в одном узле а),последовательное объединение линий б) 
  
 
Поэтому в дальнейшем проводим пространственно-временное квантование модели с уменьшенным вдвое шагом. Воспользуемся выражениями для токов и напряжений в длинной линии, известными из теории цепей [18]. Из них следует, что в любой наперед заданной точке каждой i-й линии xm = D'm в фиксированный момент времени tn = t'n результирующее комплексное напряжение   складывается из суммы комплексных напряжений падающей и отраженной волн, продвигающихся во взаимно противоположных направлениях 
. (4.1.2) 
Напряжения падающей и отраженной бегущих волн при дискретной форме задания координат точек линии и времени могут быть записаны следующим образом 
, (4.1.3а) 
, (4.1.3б) 
где  ,  - комплексные амплитуды падающей и отраженной волн в начале координат в i-й линии, a- коэффициент затухания, vф - фазовая скорость сигнала в линиях,  . Полные комплексные токи также выражаются через комплексные падающие и отраженные волны напряжения 
.  (4.1.4) 
Из (4.1.3) при a = 0 непосредственно следует простой, но чрезвычайно важный для дальнейшего анализа вывод о том, что 
. (4.1.5) 
Координата узловой точки в схемах, изображенных на рис. 2, имеет значение
x0 = 0. Тогда координаты точек выходов отрезков линий рассматриваемых разветвлений будут иметь значение D'. 

Алгебраическая сумма токов, вытекающих из узловой точки при параллельном разветвлении линий (рис. 4.1.2,а), в соответствии с первым правилом Кирхгофа должна равняться нулю в любой момент времени 

, (4.1.6) 

откуда вытекает равенство 

.  (4.1.7) 
Просуммируем напряжение в момент времени tn для каждой линии, подходящей к узловой точке, и учтем, что при параллельном соединении линий узловая точка имеет фиксированный потенциал, обозначаемый как   . Учитывая (4.1.7), получаем 
  (4.1.8) 
Как следует из (4.1.5) напряжения падающей и отраженной волн в двух соседних узлах i-й линии при отсутствии диссипативных потерь связаны следующими соотношениями 
. (4.1.9) 
Тогда токи  , вытекающие из рассматриваемого разветвления по каждой i-й линии в момент времени tn, могут быть следующим образом связаны с напряжениями падающей и отраженной волн в узловой точке в моменты времени tn и tn+1, соответственно 
. (4.1.10) 
Просуммируем (4.1.10) по всем четырем входам и учтем (4.1.8) 
. (4.1.11) 
В отличие от (4.1.6) сумма токов (4.1.11) вычисляется хотя и в один и тот же момент времени, но не в одном узле схемы, а в разных. Поэтому она не равняется нулю. Теперь уже окончательно получаем 
.   (4.1.12)
Таким образом, напряжение в узловой точке схемы, изображенной на
рис. 4.1.2,а, в момент времени tn+1 определяется как разность напряжения в этом же узле в момент времени tn-1 и суммы токов, вытекающих из линий в промежуточный момент времени tn, умноженной на r/2. 

Схема, изображенная на рис. 4.1.2,б, дуальна схеме, изображенной на
рис. 4.1.2,а. Поэтому для нее сумма напряжений в узловой точке должна равняться нулю в любой момент времени 

, (4.1.13) 
откуда вытекает равенство 
.  (4.1.14) 
Просуммируем токи  , выходящие из узловой точки в момент времени tn для каждой i-й линии, и учтем, что при последовательном соединении линий в каждой из них протекает одинаковый узловой ток; обозначим его   . Учитывая (4.1.14), получаем 
  (4.1.15) 
Напряжения на входах разветвления в момент времени tn могут быть следующим образом связаны с напряжениями падающей и отраженной волн в узловой точке в моменты времени tn и tn+1, соответственно 
.  (4.1.16) 
Просуммируем (4.1.16) по всем четырем входам и учтем (4.1.15) 
. (4.1.17) 
В отличие от (4.1.13) сумма напряжений (4.1.17) вычисляется хотя и в один и тот же момент времени, но не в одном общем узле схемы, а в разных. Поэтому она не равняется нулю. Теперь уже окончательно получаем 
    (4.1.18) 
Таким образом, ток в узловой точке схемы, изображенной на рис. 4.1.2,б, в момент времени tn+1 определяется как разность тока в этом же узле в момент времени tn-1 и суммы напряжений на входах линий в промежуточный момент времени tn, умноженной на коэффициент, стоящий в правой части (4.1.18). 
Теперь сделаем принципиально важное замечание о выборе знаков, которые следует приписывать токам и напряжениям, входящим в суммы (4.1.12) и (4.1.18) при использовании этих выражений для анализа общей схемы исследуемого устройства. Из сопоставления стрелок, указывающих направления векторов напряженности электрического и магнитного компонентов поля (рис. 4.1.1) и стрелок, соответствующих положительным направлениям протекающих токов и приложенных напряжений в схемах, изображенных на рис. 4.1.2, делаем следующий вывод. Положительные знаки (как это и можно было бы заранее ожидать) следует приписывать тем слагаемым, которые сопоставляются векторам, ориентированным относительно вектора искомой функции в соответствии с правилом правого буравчика. Так, например, при вычислении тока в узле, изображенном на рис. 4.1.1,в (а он иллюстрирует роторное формирование компоненты магнитного поля HYi+1/2,j,k+1/2), напряжения, входящие в сумму (4.1.17) и соответствующие компонентам напряженности электрического поля EZi,j,k+1/2 и EXi+1/2,j,k+1 следует взять со знаком плюс, а слагаемым, соответствующим узлам, в которых заданы компоненты напряженности электрического поля EZi+1,j,k+1/2 и EXi+1/2,j,k, следует приписать знаки минуса. 
Приведем окончательные выражения для расчета всех шести компонентов электромагнитного поля в соответствии с (4.1.12) и (4.1.18) и с учетом сделанного выше замечания, а также соотношения (4.1.1): 
 , 
(4.1.19) 
 , 
(4.1.20) 
 
 , 
(4.1.21) 
 , 
(4.1.22) 
 , 
(4.1.23) 
 . 
(4.1.24) 
В этих выражениях нижний, четвертый по порядку индекс, обозначает номер временного полуинтервала tn = t'n. Для сокращения записи в алгебраических суммах, стоящих в правых частях выражений (4.1.19)-(4.1.24), общий символ, обозначающий номер временного полуинтервала, вынесен из-под знака квадратных скобок. Расчет компонентов электромагнитного поля с использованием выражений (4.1.19)-(4.1.24) может проводиться в следующей последовательности. В областях подвода к анализируемому устройству электромагнитных волн попеременно фиксируются значения компонентов поля  и  , соответствующих значениям компонентов поля в возбуждающей волноведущей структуре: EX, EY, EZ - в четные моменты времени t'2n = t'2n и НX, НY, НZ - в нечетные моменты времени t'2n-1 = t'(2n - 1), где n = 1, 2,... В первый момент времени во всех узлах устройства, кроме тех, на которые подводится возбуждающее поле, его составляющие  и  полагаются равными нулю. Далее, поскольку, например, для расчета проекций вектора напряженности электрического поля  в любой точке (в том числе и на поверхности раздела внутреннего объема устройства и внешней волноведущей структуры) в четные моменты времени в соответствии с (4.1.19)-(4.1.22) следует знать значения компонентов поля  в нечетные моменты времени в пространственных точках, отстоящих от исходной на расстояниях D', то сетка элементарных объемов должна быть погружена внутрь подводящих волноводов именно на это расстояние D'. На рис. 4.1.3 приведена графическая схема, отображающая во временной области последовательность выполнения вычислительного процесса. Расположение векторов  и   на разных линиях в этой схеме подчеркивает факт формирования компонентов поля в любом узле за счет соответствующих им дуальных компонентов  и  , задаваемых в четырех соседних узлах в срединные моменты времени по отношению к двум полным четным (или нечетным) соседним моментам времени, в которые рассчитываются поля. Описанный алгоритм расчета поля назван шестипараметрическим, поскольку один элементарный объем в течение одного полного интервала времени t описывается тремя компонентами напряженности электрического поля  в моменты t'2n и тремя компонентами вектора   в моменты времени t'2n-1. Таким образом, обе компоненты оказываются известными в разные моменты времени и при этом в пространственно разнесенных точках. Вместе с тем, за исключением областей возбуждения устройства можно мысленно совмещать и пространстве и во времени обе составляющие электромагнитного поля, приписывая вычисленные с помощью (4.1.19)-(4.1.24) поля соответствующим узлам эквивалентной схемы в моменты времени, расположенные между собою через полные интервалы t =2t'. Упрощенная схема вычислительной процедуры при таком видении процессов изображена на рис. 4.1.4.
 
Рис. 4.1.3. Графическая схема, отображающая во временной области последовательность выполнения вычислительного процесса
 
 
Рис.4.1.4. Упрощенная графическая схема, иллюстрирующая последовательность выполнения вычислительной процедуры на основе шестипараметрического алгоритма
 
 Особенности алгоритма анализа схемы роторного типа при неоднородном диэлектрическом и магнитном заполнение внутренней области устройства
 
Общий вид эквивалентной схемы рассматриваемого элемента изображен на рис. 2.3.9. На рис. 4.1.5,а дана эквивалентная схема, соответствующая параллельному соединению клемм четырех примыкающих друг к другу элементарных объемов, а на рис. 4.1.5,б - схема, располагающаяся на каждой грани кубика. Получим уравнения, связывающие напряжения в узлах схемы модифицированного типа, расположенных на ребрах кубика (в них имеется параллельное разветвление линий) с токами в ближайших связанных с ними узлах, расположенных на гранях кубика (в них имеется последовательное разветвление линий), рис. 4.1.5,а. Затем установим аналогичные связи для дуального узла с последовательным разветвлением линий, изображенным на рис. 4.1.5,б
 
Рис.4.1.5. Параллельное разветвление а) и последовательное разветвление б) линий в модифицированной эквивалентной схеме роторного кубика
 
  
Алгебраическая сумма токов, вытекающих из узловой точки при параллельном разветвлении линий (рис. 4.1.5,а), в соответствии с первым правилом Кирхгофа должна равняться нулю в любой момент времени 
, (4.1.25а) 
откуда вытекает равенство 
.(4.1.25б) 
Просуммируем напряжения в момент времени tn для каждой линии, подходящей к узловой точке, и учтем, что при параллельном соединении линий узловая точка имеет фиксированный потенциал, обозначаемый как   . Учитывая (4.1.25), получаем 
=  . (4.1.26) 
Напряжения падающей и отраженной волн в двух соседних узлах i-й линии при отсутствии диссипативных потерь связаны следующими соотношениями 
. (4.1.27) 
Тогда токи, вытекающие из рассматриваемого разветвления в момент времени tn, могут быть следующим образом связаны с напряжениями падающей и отраженной волн в узловой точке в моменты времени tn и tn+1, соответственно 
.(4.1.28) 
Просуммируем (4.1.28) по входам всех восьми линий, подходящих к разветвлению, и учтем (4.1.26), а также тот факт, что на концах разомкнутых линий токи равняются нулю, то есть  , получаем 
 

В отличие от (4.1.25а) сумма токов (4.1.29) не равняется нулю, поскольку, хотя она и вычисляется в один и тот же момент времени, но не в одном узле схемы, а в разных. Теперь уже окончательно получаем 

.  (4.1.30)

Таким образом, напряжение в узловой точке схемы, изображенной на
рис. 4.1.5,а, в момент времени tn+1 определяется как разность напряжения в этом же узле в момент времени tn-1 и суммы токов, вытекающих из линий в промежуточный момент времени tn, умноженная на коэффициент, стоящий в правой части (4.1.30). 

Схема, изображенная на рис. 4.1.5,б дуальна схеме, изображенной на
рис. 4.1.5,а. Поэтому для нее сумма напряжений в узловой точке должна равняться нулю в любой момент времени 

  (4.1.31) 
откуда вытекает равенство 
. (4.1.32) 
Просуммируем токи в момент времени tn для каждой линии, подходящей к узловой точке, и учтем, что при последовательном соединении линий в узловой точке имеется одинаковый для всех линий ток, обозначаемый как   . Учитывая (4.1.32), получаем 
(4.1.33) 
Напряжения на входах разветвления в момент времени tn могут быть следующим образом связаны с напряжениями падающей и отраженной волн в узловой точке в моменты времени tn и tn+1, соответственно 
. (4.1.34) 
Просуммируем (4.1.34) по всем восьми входам, учтем (4.1.32), а также тот факт, что напряжения на концах короткозакнутых шлейфов равняются нулю
 

В отличие от (4.1.31) сумма напряжений (4.1.35) вычисляется хотя и в один и тот же момент времени, но не в одном узле схемы, а в разных. Поэтому она не равняется нулю. Теперь уже окончательно получаем

.    (4.1.36)

Таким образом, ток в узловой точке схемы, изображенной на рис. 4.1.5,б, в момент времени tn+1 определяется как разность тока в этом же узле в момент времени tn-1 и суммы напряжений, на входах линий в промежуточный момент времени tn, умноженной на коэффициент, стоящий в правой части (4.1.36). 

НазадВверхВперед