Предложен
метод определения токов и напряжений в LC-сетке, являющейся аналогом
двумерного электромагнитного пространства, с помощью импедансно-сеточной
функции Грина [9]. Исследованы вычислительные возможности полученных выражений.
Приведены рекуррентные формулы для вычисления функции Грина. Рассмотрена
задача дифракции плоской волны на металлической ленте.
Для
анализа неограниченного двумерного пространства с составляющими полей Ey,
Hy, Hz используется сетка размерами Dx, Dz ╚ l эквивалентной
LC-схемой (рис. 4.6.1), параметры которой соответствуют конечно-разностной
записи уравнений Максвелла. В данном случае параметры плоской сетки имеют
вид:
;
;
.
|
Рис. 4.6.1. Эквивалентная импедансная LC-схема
|
Связь
токов и напряжений на клеммах ненагруженной сетки описывается матрицами ,
где Zijkl √ комплексные параметры, характеризующие величину
наведенного напряжения на клеммах сетки ij при подведении внешнего
тока к клеммам k, l (рис. 4.6.2). Матрица Zijkl
является сеточной функцией Грина данной задачи, которая определяется в
результате выполнения следующих операций:
√
описание процессов, происходящих в сетке на основе полного множества собственных
функций на сеточных блоках и с учетом условий периодичности;
√ представление функции
Грина рядами с учетом излучения;
√ выражение функции Грина
в интегральной форме.
|
Рис. 4.6.2. Ненагруженная сетка
|
Для
каждой ячейки невозбужденной сетки (рис. 4.6.3) конечно-разностные уравнения
в терминах тока и напряжения имеют вид:
i1
+ i2 + i3 + i4 +
i5 = 0;
;
;
;
;
,
где
Y1
= 1/jwLz; Y2
= 1/jwLx; Y3
= 1/jwCy.
|
Рис. 4.6.3. Ячейка невозбужденной сетки
|
Из
приведенных уравнений имеем
Y1(Ek√1,l
- 2Ek,l + Ek+1,l)+Y2(Ek,l+1
- 2Ek,l + Ek,l√1) - Y3Ek,l
= 0. (4.6.1)
Бесконечную
сетку разделим произвольным образом на блоки (каждый из блоков содержит
LxL=N
элементарных ячеек), для которых записываются следующие циклические граничные
условия:
Ek,l
= Ek+L,l+L. (4.6.2)
Для
любой ячейки с текущими координатами k, l решениями уравнения
(4.6.1) с учетом (4.6.2) будут функции
1
< m, n, k, l<L. (4.6.3)
Функции являются
нормированными собственными векторами данной задачи.
Подставляя
(4.6.3) в (4.6.1), получаем выражение для собственных чисел
(4.6.4)
Подводя
к узлам схемы токи и
проводя суммирование по индексам m и n, имеем
(4.6.5)
Пусть
генератор тока подключен к узлу с координатами k',
l',
т.е.
(4.6.6)
Из
условия ортогональности сеточных функций
(4.6.7)
Из
(4.6.3), (4.6.5) и (4.6.7) находим связь между токами и напряжениями для
узлов, расположенных в пределах выбранного блока,
. (4.6.8)
При функция
Грина будет иметь вид
, (4.6.9)
а
суммирование по индексам m и n можно заменить интегрированием
по переменным и .
При этом распределение собственных чисел не изменится. Тогда функция Грина
будет иметь вид
. (4.6.10)
Применяя
условия излучения на бесконечности в качестве граничных, получаем окончательное
выражение для импедансно-сеточной функции Грина
(4.6.11)
Будем
в дальнейшем полагать, что исходная сетка является квадратной (Dx
= Dz).
Для преобразования (4.6.11) к более удобному для вычислений виду воспользуемся
соотношением
(4.6.12)
Тогда
из выражения (4.6.11) получим
(4.6.13)
где .
Учитывая
, (4.6.14)
имеем
. (4.6.15)
Целью
дальнейших преобразований является сведение аналитического решения для к
интервалу специального вида, удобному для последующих численных расчетов.
В результате проведенных преобразований получаем выражение
,
где
Интеграл относится
к интервалам вида
.
Ортогональной
системой многочленов на отрезке [√1; +1] при использовании весовой функции
P(x) = (1√x)a
(1+x)b
является система многочленов Якоби ,
n = 0, 1, ... . Для построения квадратурной формулы с n узлами
на отрезке [√1; +1], имеющей наивысшую степень точности 2n√1,
, (4.6.17)
необходимо,
чтобы ее узлы xk совпадали с корнями якобиева многочлена
степени n.
. (4.6.18)
Для
случая a = b
= √0,5 получим:
n
arccos x);
,
k = 1, 2,..., n; (4.6.19)
Квадратурная
формула наивысшей степени точности с весовой функцией будет
иметь вид
(4.6.20)
где √1
< x
< 1.
Анализ
(4.6.20) показал, что для вычисления Re(Zmn)
c точностью до пятого знака требуется использовать пять членов ряда, а
для вычисления Im(Zmn)
√ более полутора тысяч. Это приведет к значительным затратам машинного
времени, если все члены Zmn будут
вычисляться с помощью рядов. Значительное сокращение машинного времени
достигается, если с помощью рядов будут вычисляться только некоторые члены
Zmn,
а остальные √ с помощью рекуррентных формул.
Рекуррентные
формулы для случая m = n -
результат можно получить, используя преобразование
, (4.6.21)
которое
позволяет свести выражение для Zmm
к виду
(4.6.22)
Для
выражения (4.6.22) справедливо следующие рекуррентное соотношение:
(4.6.23)
Соотношение
(4.6.23) позволяет ускоренно вычислять только диагональные члены Zmn
(m = n).
Из
анализа исходной LC-сетки и соотношения (4.6.1) можно получить две
другие рекуррентные формулы для вычисления Zmn
c произвольным mn
(Lx+Ly)
m, n
= 0, 1, ... (4.6.24)
; m, n <>
0. (4.6.25)
Вычисления
по формулам (4.6.24), (4.6.25) показали, что процесс является расходящимся
(с постепенным накоплением ошибок) при малых начальных индексах m и
v . Накопление ошибок не происходит, если вычисления
Zmv проводить от больших значений m,v к
меньшим.
Таким
образом, для определения функции Грина целесообразно использовать комбинации
численных методов и рекуррентные формулы, причем большая часть значений
Zmn
рассчитывается по рекуррентным формулам. Схематически эта процедура изображена
на рис. 4.6.4.
|
Рис. 4.6.4. Процедура вычисления Zmv численным
методом (x), рекуррентной формулой (->)
|
Используя
(4.6.16), можно найти асимптотическое выражение Zmv,
при больших индексах m и v методами стационарной фазы и перевала,
с помощью которых оцениваются анизотропные свойства сетки и проводится
аналогия процессов в ней с физикой колебаний в плоском кристалле. Это асимптотическое
выражение имеет вид:
(4.6.26)
где
Полученные
результаты позволяют непосредственно перейти к решению задач дифракции
на произвольных двумерных металлических и диэлектрических телах, в том
числе и телах, имеющих потери. Границы тел аппроксимируются узлами сетки,
функция Грина которой вычисляется заранее и не зависит от геометрии исследуемых
тел. В связи с этим задача дифракции в принципе сводится к непосредственному
обращению матрицы, составленной из элементов матрицы Zmn
вычисленной заранее, в соответствии с заданной топологией. К преимуществам
данного метода относится естественность граничных условий импедансного
типа на исследуемых телах, для металлических тел √ это введение токов в
узлы, аппроксимирующие границы тела таким образом, чтобы напряжения на
клеммах этих узлов обращались в ноль. Для диэлектрических тел и тел с потерями
в узлы, аппроксимирующие площади этих тел, вводятся добавочные емкости
и проводимости.
|
Рис. 4.6.5. Расположение тел в задаче дифракции:
М √ металл, Д √ диэлектрик, П √ тело с потерями
|
Решение
задачи дифракции на основе рассматриваемого метода проиллюстрирована на
рис. 4.6.5. При решении задачи используется система уравнений:
где
Г √ аппроксимированная граница металлического тела;
s1
и s2 √ аппроксимированные площади диэлектрического тела
и тела с потерями соответственно;
√
проницаемость диэлектрика;
√
проводимость тела с потерями;
I
√ вводимый ток;
U
√ наводимое напряжение на клеммах сетки;
Zmn
√ элементы импедансной функции Грина;
Uпад
√ напряжение падающей волны.
Нижние
индексы в системе уравнений соответствуют аппроксимированным границам.
В
качестве иллюстрации предложенного метода рассматривается задача о падении
плоской волны на металлическую ленту под различными углами
(рис. 4.6.6). Распределения токов на ленте и интенсивность поля в ближней
зоне, рассчитанная на ЭВМ, показаны на рис. 4.6.7, 4.6.8 соответственно;
общее время счета составило 3 с.
|
|
Рис.
4.6.6. Падение плоской волны на металлическую ленту под углом a
|
|
Рис. 4.6.7. Распределение поверхностной плотности тока на ленте
(D/l
= 0,05; a
= 0)
- расчет, -
результат [9]
|
Предложенный
метод решения двумерных задач дифракции, основанный на использовании импедансно-сеточной
функции Грина, позволяет создавать эффективные алгоритмы расчета полей
и токов при исследовании изучения и рассеяния систем произвольной структуры.
Эффективность алгоритмов обусловлена применением как аналитических, так
и рекуррентных соотношений для членов функции Грина. Преимуществом метода
является единообразие и простота формулировки задач дифракции на металлических
и диэлектрических телах произвольной конфигурации (в том числе и с потерями)
и сокращение затрат машинного времени. Решение задачи позволяет получить
картину распределения полей и токов.
|
Рис. 4.6.8. Интенсивность поля в ближней зоне при падении плоской
волны на металлическую ленту (D/l
= 0,05; a
= 90°)
|
Предложенный
метод может быть обобщен для решения трехмерных задач дифракции.