НазадВверхВперед
Дисциплина: "Техническая электродинамика и устройства СВЧ" 
Раздел: "Методы анализа параметров импедансных сеток в частотной и временной областях"  
Тема: "Метод импедансно-сеточной функции Грина для решения двумерных задач дифракции"

 
Метод импедансно-сеточной функции Грина для решения двумерных задач дифракции
 
Предложен метод определения токов и напряжений в LC-сетке, являющейся аналогом двумерного электромагнитного пространства, с помощью импедансно-сеточной функции Грина [9]. Исследованы вычислительные возможности полученных выражений. Приведены рекуррентные формулы для вычисления функции Грина. Рассмотрена задача дифракции плоской волны на металлической ленте.
Для анализа неограниченного двумерного пространства с составляющими полей Ey, Hy, Hz используется сетка размерами DxDz ╚ l эквивалентной LC-схемой (рис. 4.6.1), параметры которой соответствуют конечно-разностной записи уравнений Максвелла. В данном случае параметры плоской сетки имеют вид:
;
;
.
 
 
Рис. 4.6.1. Эквивалентная импедансная LC-схема
 

Связь токов и напряжений на клеммах ненагруженной сетки описывается матрицами , где Zijkl √ комплексные параметры, характеризующие величину наведенного напряжения на клеммах сетки ij при подведении внешнего тока к клеммам k, l (рис. 4.6.2). Матрица Zijkl является сеточной функцией Грина данной задачи, которая определяется в результате выполнения следующих операций:

√ описание процессов, происходящих в сетке на основе полного множества собственных функций на сеточных блоках и с учетом условий периодичности;

√ представление функции Грина рядами с учетом излучения;
√ выражение функции Грина в интегральной форме.
 
 
 
Рис. 4.6.2. Ненагруженная сетка
 

Для каждой ячейки невозбужденной сетки (рис. 4.6.3) конечно-разностные уравнения в терминах тока и напряжения имеют вид:

i1 + i2 + i3 + i4 + i5 = 0;
;
;
;
;
,

где

Y1 = 1/jwLz; Y2 = 1/jwLx; Y3 = 1/jwCy.
 
 
Рис. 4.6.3. Ячейка невозбужденной сетки
 
Из приведенных уравнений имеем
Y1(Ek√1,l - 2Ek,l + Ek+1,l)+Y2(Ek,l+1 - 2Ek,l + Ek,l√1) - Y3Ek,l = 0. (4.6.1)
Бесконечную сетку разделим произвольным образом на блоки (каждый из блоков содержит LxL=N элементарных ячеек), для которых записываются следующие циклические граничные условия:
Ek,l = Ek+L,l+L.   (4.6.2)
Для любой ячейки с текущими координатами k, l решениями уравнения (4.6.1) с учетом (4.6.2) будут функции
1 < m, n, k, l<L.   (4.6.3)
Функции  являются нормированными собственными векторами данной задачи.
Подставляя (4.6.3) в (4.6.1), получаем выражение для собственных чисел
 (4.6.4)
Подводя к узлам схемы токи  и проводя суммирование по индексам m и n, имеем
 (4.6.5)
Пусть генератор тока подключен к узлу с координатами k', l', т.е.
 (4.6.6)
Из условия ортогональности сеточных функций 
 (4.6.7)
Из (4.6.3), (4.6.5) и (4.6.7) находим связь между токами и напряжениями для узлов, расположенных в пределах выбранного блока,
.  (4.6.8)
При  функция Грина будет иметь вид
, (4.6.9)
а суммирование по индексам m и n можно заменить интегрированием по переменным  и . При этом распределение собственных чисел не изменится. Тогда функция Грина будет иметь вид
. (4.6.10)
Применяя условия излучения на бесконечности в качестве граничных, получаем окончательное выражение для импедансно-сеточной функции Грина
 (4.6.11)
Будем в дальнейшем полагать, что исходная сетка является квадратной (DxDz). Для преобразования (4.6.11) к более удобному для вычислений виду воспользуемся соотношением
  (4.6.12)
Тогда из выражения (4.6.11) получим
 (4.6.13)
где .
Учитывая
, (4.6.14)
имеем
.  (4.6.15)
Целью дальнейших преобразований является сведение аналитического решения для  к интервалу специального вида, удобному для последующих численных расчетов. В результате проведенных преобразований получаем выражение
,

где

Интеграл  относится к интервалам вида 
.

Ортогональной системой многочленов на отрезке [√1; +1] при использовании весовой функции P(x) = (1√x)a (1+x)b является система многочленов Якоби , n = 0, 1, ... . Для построения квадратурной формулы с n узлами на отрезке [√1; +1], имеющей наивысшую степень точности 2n√1,

, (4.6.17)
необходимо, чтобы ее узлы xk совпадали с корнями якобиева многочлена степени n.
. (4.6.18)
Для случая a = b = √0,5 получим:
n arccos x);
, k = 1, 2,..., n;  (4.6.19)

Квадратурная формула наивысшей степени точности с весовой функцией  будет иметь вид

 (4.6.20)
где  √1 < x < 1.
Анализ (4.6.20) показал, что для вычисления Re(Zmn) c точностью до пятого знака требуется использовать пять членов ряда, а для вычисления Im(Zmn) √ более полутора тысяч. Это приведет к значительным затратам машинного времени, если все члены Zmn будут вычисляться с помощью рядов. Значительное сокращение машинного времени достигается, если с помощью рядов будут вычисляться только некоторые члены Zmn, а остальные √ с помощью рекуррентных формул.
Рекуррентные формулы для случая m = n - результат можно получить, используя преобразование
, (4.6.21)
которое позволяет свести выражение для Zmm к виду
 (4.6.22)
Для выражения (4.6.22) справедливо следующие рекуррентное соотношение:
 (4.6.23)
Соотношение (4.6.23) позволяет ускоренно вычислять только диагональные члены Zmn (m = n).
Из анализа исходной LC-сетки и соотношения (4.6.1) можно получить две другие рекуррентные формулы для вычисления Zmn c произвольным mn (Lx+Ly)
 m, n = 0, 1, ... (4.6.24)
; m, n <> 0. (4.6.25)
Вычисления по формулам (4.6.24), (4.6.25) показали, что процесс является расходящимся (с постепенным накоплением ошибок) при малых начальных индексах m и v . Накопление ошибок не происходит, если вычисления Zmv проводить от больших значений m,v к меньшим.
Таким образом, для определения функции Грина целесообразно использовать комбинации численных методов и рекуррентные формулы, причем большая часть значений Zmn рассчитывается по рекуррентным формулам. Схематически эта процедура изображена на рис. 4.6.4.
 
 
Рис. 4.6.4. Процедура вычисления Zmv численным методом (x), рекуррентной формулой (->)
 

Используя (4.6.16), можно найти асимптотическое выражение Zmv, при больших индексах m и v методами стационарной фазы и перевала, с помощью которых оцениваются анизотропные свойства сетки и проводится аналогия процессов в ней с физикой колебаний в плоском кристалле. Это асимптотическое выражение имеет вид:

(4.6.26)
где 
Полученные результаты позволяют непосредственно перейти к решению задач дифракции на произвольных двумерных металлических и диэлектрических телах, в том числе и телах, имеющих потери. Границы тел аппроксимируются узлами сетки, функция Грина которой вычисляется заранее и не зависит от геометрии исследуемых тел. В связи с этим задача дифракции в принципе сводится к непосредственному обращению матрицы, составленной из элементов матрицы Zmn вычисленной заранее, в соответствии с заданной топологией. К преимуществам данного метода относится естественность граничных условий импедансного типа на исследуемых телах, для металлических тел √ это введение токов в узлы, аппроксимирующие границы тела таким образом, чтобы напряжения на клеммах этих узлов обращались в ноль. Для диэлектрических тел и тел с потерями в узлы, аппроксимирующие площади этих тел, вводятся добавочные емкости и проводимости.
 
Рис. 4.6.5. Расположение тел в задаче дифракции:
М √ металл, Д √ диэлектрик, П √ тело с потерями
 

Решение задачи дифракции на основе рассматриваемого метода проиллюстрирована на рис. 4.6.5. При решении задачи используется система уравнений:

где Г √ аппроксимированная граница металлического тела;

s1 и s2 √ аппроксимированные площади диэлектрического тела и тела с потерями соответственно;

√ проницаемость диэлектрика;

√ проводимость тела с потерями;

I √ вводимый ток;

U √ наводимое напряжение на клеммах сетки;

Zmn √ элементы импедансной функции Грина;

Uпад √ напряжение падающей волны.

Нижние индексы в системе уравнений соответствуют аппроксимированным границам.

В качестве иллюстрации предложенного метода рассматривается задача о падении плоской волны на металлическую ленту под различными углами
(рис. 4.6.6). Распределения токов на ленте и интенсивность поля в ближней зоне, рассчитанная на ЭВМ, показаны на рис. 4.6.7, 4.6.8 соответственно; общее время счета составило 3 с.

 
Рис. 4.6.6. Падение плоской волны на металлическую ленту под углом a
 
Рис. 4.6.7. Распределение поверхностной плотности тока на ленте (D/l = 0,05; a = 0)   -  расчет, - результат [9]
 

Предложенный метод решения двумерных задач дифракции, основанный на использовании импедансно-сеточной функции Грина, позволяет создавать эффективные алгоритмы расчета полей и токов при исследовании изучения и рассеяния систем произвольной структуры. Эффективность алгоритмов обусловлена применением как аналитических, так и рекуррентных соотношений для членов функции Грина. Преимуществом метода является единообразие и простота формулировки задач дифракции на металлических и диэлектрических телах произвольной конфигурации (в том числе и с потерями) и сокращение затрат машинного времени. Решение задачи позволяет получить картину распределения полей и токов.
 
 
Рис. 4.6.8. Интенсивность поля в ближней зоне при падении плоской волны на металлическую ленту (D/l = 0,05; a = 90°)
 
Предложенный метод может быть обобщен для решения трехмерных задач дифракции.
 
НазадВверхВперед